lyap

Lösen der kontinuierlichen Ljapunow-Gleichung

Syntax

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Beschreibung

lyap löst die spezielle und allgemeine Form der Ljapunow-Gleichung. Ljapunow-Gleichungen treten in verschiedenen Bereichen der Regelung auf, einschließlich der Stabilitätstheorie und der Untersuchung des RMS-Verhaltens von Systemen.

X = lyap(A,Q) löst die Ljapunow-Gleichung

$A X + X A^{T} + Q = 0$

wobei A und Q quadratische Matrizen gleicher Größe darstellen. Wenn Q eine symmetrische Matrix ist, ist die Lösung X ebenfalls eine symmetrische Matrix.

X = lyap(A,B,C) löst die Sylvester-Gleichung

$A X + X B + C = 0$

Die Matrizen A, B und C müssen kompatible Dimensionen haben, müssen aber nicht quadratisch sein.

X = lyap(A,Q,[],E) löst die verallgemeinerte Ljapunow-Gleichung

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

wobei Q eine symmetrische Matrix ist. Sie müssen für diese Funktion leere eckige Klammern [] verwenden. Sobald Sie Werte in die Klammern setzen, wird die Funktion abgebrochen.

Beschränkungen

Die kontinuierliche Ljapunow-Gleichung hat eine eindeutige Lösung, wenn die Eigenwerte $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ von A und $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ von B folgende Bedingung erfüllen:

$α_{i} + β_{j} \neq 0 f o r a l l p a i r s (i, j)$

Wenn diese Bedingung verletzt wird, gibt lyap folgende Fehlermeldung aus:

Solution does not exist or is not unique.

Beispiele

Beispiel 1

Lösen der Ljapunow-Gleichung

Lösen Sie die Ljapunow-Gleichung

$A X + X A^{T} + Q = 0$

wobei

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

Die A-Matrix ist stabil, und die Q-Matrix ist positiv definit.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

Diese Befehle liefern die folgende X-Matrix:

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

Sie können die Eigenwerte berechnen, um festzustellen, dass X positiv definit ist.

eig(X)

Diese Befehle liefern das folgende Ergebnis:

ans =

    0.4359
    8.7308

Beispiel 2

Lösen der Sylvester-Gleichung

Lösen Sie die Sylvester-Gleichung

$A X + X B + C = 0$

wobei

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}]$

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Diese Befehle liefern die folgende X-Matrix:

X =

   -0.2000   -0.0500

Algorithmen

lyap verwendet die SLICOT-Routinen SB03MD und SG03AD für Ljapunow-Gleichungen und SB04MD (SLICOT) und ZTRSYL (LAPACK) für Sylvester-Gleichungen.

Referenzen

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE^® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

Siehe auch

covar | dlyap