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Entwicklung von Modellen für die Portfolio-Optimierung

Von Bob Taylor, MathWorks

Die Portfolio-Optimierung wurde bereits in den fünfziger Jahren entwickelt, aber verschiedene praktische und theoretische Probleme verhinderten zunächst ihre tatsächliche Nutzung durch Anlageverwalter. So ist es beispielsweise oft schwierig, historische Daten von so hoher Qualität zu sammeln, dass sie für eine detaillierte Analyse geeignet sind. Außerdem neigt die „Efficient Frontier“ – die Linie, auf der optimale Portfolios liegen – dazu, sich im Laufe der Zeit zu verschieben, wodurch die auf ihr liegenden Portfolios rasch wieder suboptimal werden. Mit modernen Analysewerkzeugen wie MATLAB und der Financial Toolbox ist es jedoch möglich, dem entgegenzusteuern.

In diesem Artikel wird eine auf dem Modell der Wertpapierlinie (Capital Asset Pricing Model; CAPM) und der Mittelwert-Varianz-Analyse basierende Methode zur Portfolio-Optimierung implementiert, die den Dow Jones Industrial Average (DJIA) als Vergleichsindex heranzieht. Die Zielsetzung besteht in der Verwendung konsistenter, wiederholbarer Schritte für die Konstruktion realistischer, optimaler und zeitlich stabiler Portfolios.

Schätzung der Momente von Anlageerträgen

Der Mittelwert und die Kovarianz von Anlageerträgen sind die beiden wichtigsten Eingabegrößen für Portfolio-Optimierungen. Die Schätzung dieser Momente besteht aus drei verschiedenen Aufgaben: Datenerfassung, Behandlung lückenhafter Datensätze und Wahl eines geeigneten Vergleichsindex.

Datenerfassung

MATLAB und die Datafeed Toolbox bilden die Grundlage zur Erfassung der Ertragsdaten von Aktien und Marktindizes. Im hier behandelten Beispiel werden die monatlichen Ertragsdaten von 44 großen Aktienwerten, so genannten Blue-Chips, und dem Dow Jones Industrial Average (DJIA) von Yahoo! Finance bezogen.

Behandlung lückenhafter Datensätze

Historische Finanzdaten liegen leider oft in unregelmäßiger oder unvollständiger Form vor. Zur Behandlung lückenhafter Datensätze (fehlende Werte werden in MATLAB als NaN, Not a Number, dargestellt) wird die Funktion ecmnmle aus der Financial Toolbox eingesetzt. Diese Funktion nutzt sämtliche vorhandenen Daten, um den bestmöglichen Schätz­wert für Momente von lückenhaften Kapitalertragsdaten abzuleiten und stellt damit eine zweckmäßige sinnvolle Alternative zu den sonst üblichen ad hoc-Ansätzen dar.

Auswahl eines Vergleichsindex

Da die Entwicklung des Gesamtmarkts eine der wichtigsten treibenden Kräfte für Kursveränderungen von Wertpapieren darstellt, ist es sinnvoll, einen Marktindex aus dem Umfeld der im Portfolio vorhandenen Wertpapiere als Vergleichsbasis auszuwählen. Durch Herausrechnen des Marktertrages aus den Daten kann man sich ganz auf die vom Markt unabhängige Entwicklung von Ertrag und Risiko konzentrieren. Im hier vorgestellten Beispiel wird der Ertrag des Dow Jones von den Aktienerträgen subtrahiert.

Einsatz der klassischen Mittelwert-Varianz-Analyse

Bei der Mittelwert-Varianz-Analyse trägt man den erwarteten Ertrag für ein gegebenes Portfolio gegen dessen Anlagerisiko (die Standardabweichung der Anlageerträge) auf. Man erzeugt Portfolios mit zufällig gewählten Anlagegewichtungen und erhält dann einen Streuplot, der den erwarteten Ertrag und das Risiko für jedes einzelne dieser Portfolios enthält (Abb. 1).

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Abb. 1: Die Efficient Frontier. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Jeder rote Punkt repräsentiert den Mittelwert und die Standardabweichung eines Portfolios. Die blaue Line ist die Efficient Frontier. Portfolios auf der Efficient Frontier haben entweder einen maximalen Ertrag bei festgelegtem Risiko oder aber ein minimales Risiko bei vorgegebenem Ertrag. Es ist offensichtlich, dass ein ergebnisorientiert handelnder Investor sich für ein Portfolio auf der Efficient Frontier entscheiden wird.

Mit der portopt-Funktion aus der Financial Toolbox kann man direkt berechnen, welche Portfolios auf der Efficient Frontier liegen. Sie nutzt dazu die Mittelwerte und Varianzen aller in einem bestimmten Portfolio vorhandenen Einzelposten.

Suchen einer stabilen Region

Da sich die Efficient Frontier im Laufe der Zeit verschiebt, kann es sein, dass ein momentan optimales Portfolio in Zukunft nicht mehr auf der Efficient Frontier liegt. Außerdem ist noch die Frage offen, für welches Portfolio auf der Efficient Frontier man sich entscheiden sollte.

Eine Lösung für diese Problematik besteht darin, die zeitliche Entwicklung der Efficient Frontier zu studieren und so eine Reihe von Portfolios zu identifizieren, deren Position von einer Efficient Frontier zur nächsten relativ stabil bleibt. Mit MATLAB lässt sich diese stabile Region visualisieren.

In Abbildung 2 ist die Veränderung der Efficient Frontiers als Funktion der Zeit dargestellt. Mit MATLAB wurden dazu die Efficient Frontiers für 40 Portfolios im Abstand von je einem Monat berechnet und die gezeigte Grafik erzeugt. Abbildung 2 unterstreicht, wie sinnvoll die Subtraktion der Markttendenz von den Daten ist: Es sind eindeutig zeitliche Abfolgen von Portfolios erkennbar, bei denen sich Ertrag und Risiko nur wenig verändern (sie liegen in der dunkelblau gekennzeichneten Region) und die im Vergleich zum Gesamtmarkt konstant positive Erträge erwirtschaften.

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Abb. 2: Efficient Frontiers in einmonatigen Intervallen nach Abzug des Marktertrags. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Rückblickende Modellprüfung

Nach Identifikation einer Gruppe effizienter und gleichzeitig stabiler Portfolios wird eine ex post-Analyse durchgeführt, die den Turnover, den Drawdown und den realisierten Durchschnittsertrag untersucht und weiterhin bewertet, wie die Performance der Portfolios tatsächlich ausgefallen ist.

Turnover

Als Turnover bezeichnet man die durch An- und Verkäufe, das so genannte Trading, verursachte zeitliche Veränderung des Bestands eines Portfolios. In einem Portfolio mit einem jährlichen Turnover von 25% wird im Laufe eines Jahres ein Viertel der Positionen ersetzt. Da Trading teuer ist, sollte eines der Ziele einer Portfolio-Strategie ein niedriger Turnover sein. Abbildung 3 zeigt den jährlichen Turnover für die Portfoliofolgen auf den Efficient Frontiers, wobei die blaue Linie die nach Abzug der Markterträge erhaltenen Analyseergebnisse kennzeichnet. In der stabilen Region, die die ersten acht Portfoliofolgen enthält, liegt der jährliche Turnover bei 25% oder weniger.

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Abb. 3: Der mittlere Turnover für Portfoliofolgen in der stabilen Region beträgt etwa 25%. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Drawdown

Die Bestimmung des maximalen Drawdown eines Portfolios stellt eine gute Methode dar, sein ex post-Risiko zu bemessen. Als maximalen Drawdown bezeichnet man den Betrag, um den ein Portfoliowert im Beobachtungszeitraum gegenüber seinem Höchstwert fällt. Er repräsentiert damit die schlechteste mögliche Performance innerhalb eines gegebenen Zeitraums.

In Abbildung 4 kennzeichnet die grüne Linie den maximalen Drawdown des DJIA über den von uns rückblickend getesteten Zeitraum – er liegt bei etwa 20 %. Der flache Teil der blauen Linie stellt den maximalen Drawdown der Portfoliofolgen in der stabilen Region dar und stimmt weitgehend mit dem maximalen Drawdown des DJIA überein. Da das Ziel darin besteht, Portfolios mit Risiko- und Ertragscharakteristiken zusammenzustellen, die der des Dow Jones Average ähneln, ist das ein gutes Ergebnis – es zeigt, dass das Risiko dieser Portfoliofolgen mit unserem Vergleichsindex vergleichbar ist.

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Abb. 4: Der Drawdown in der stabilen Region gleicht dem des DJIA. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Mittlerer Ertrag

Eine der einfachsten Performance-Messungen besteht darin, den Mittelwert und die Standardabweichung der Erträge eines Portfolios zu bestimmen. Es wurde bereits festgestellt, dass das Risiko der in der stabilen Region gelegenen Portfolios mit dem des DJIA vergleichbar und damit angemessen ist. Aber gilt das auch für ihre Erträge?

In Abbildung 5 sind die Mittelwerte der ex post-Erträge gegen das Risiko der Portfolios aufgetragen. Der rote Stern kennzeichnet zusätzlich den Ertrag und das Risiko des DJIA über den Vergleichszeitraum des rückblickenden Tests. Jeder blaue Kreis gehört zu einer Portfoliofolge. Die dem Stern am nächsten liegenden Kreise gehören zu Portfoliofolgen in der stabilen Region – es sind diejenigen mit dem geringsten Risiko und dem höchsten auf das Jahr umgerechneten Ertrag. Einige Portfolios haben den DJIA bei vergleichbarem Risiko und einem Turnover von weniger als 25% pro Jahr um 150 Basispunkte übertroffen.

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Abb. 5. Auftragung des jährlichen Ertrags der Portfoliofolgen gegen deren Risiko. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Abschließend wird die Performance relativ zum DJIA bestimmt. Dazu wird der kumulierte Nettowert einer US-Dollar-Investition in die betrachteten Portfoliofolgen gegen den DJIA aufgetragen. Der Wertzuwachs der Portfoliofolgen entlang der stabilen Region ist über die gesamte Testperiode hinweg durchgehend höher als der des Vergleichsindex (der in Abbildung 6 als blaue Ebene dargestellt ist). Eine der genauere Betrachtung zeigt außerdem, dass tatsächlich keines der Portfolios außerhalb der stabilen Region dieses Kriterium erfüllt.

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Abb. 6. Kumulierte relative Erträge für jede Portfoliosequenz. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Ausblick

Mit seinen Fähigkeiten zur Erfassung von Daten, Schätzung der Momente von Anlageerträgen, Zusammenstellung optimierter Portfolios, Visualisierung von Konzepten und zum Testen von Ergebnissen gegen historische Daten bietet MATLAB eine Plattform für Analysten, die Finanzanalysen sehr erleichtert. Der hier beschriebene Ansatz stellt einen guten Ausgangspunkt für ein Modell zur Portfolio-Optimierung dar. Ein institutioneller Investor, der dieses Modell einsetzt, würde vermutlich auch Transaktionskosten und Nebenbedingungen wie maximale Transaktionsvolumina in das Modell integrieren wollen. Dennoch stellt ein Modell, das in der Lage ist, den Markt um durchschnittlich 150 Basispunkte zu schlagen, einen ermutigenden ersten Schritt dar.

Glossar zur Portfolio Optimierung


Basispunkt. Ein Maß für den Ertrag; ein Basispunkt = 1/100 %.

Modell der Wertpapierlinie (Capital asset pricing model, CAPM). Ein Modell, bei dem der Ertrag für ein beliebiges Wertpapier oder ein Wertpapierportfolio gleich dem risikolosen Ertrag plus einer Risikoprämie ist, die proportional zur Differenz aus dem Marktertrag und dem risikolosen Ertrag ist.

Efficient Frontier. Die Gesamtheit aller effizienten Portfolios, also derjenigen, die den höchstmöglichen Ertrag bei gegebenem Anlagerisiko erzielen.

Ex ante-Analyse. Eine im Vorfeld einer Transaktion durchgeführte Analyse.

Ex post-Analyse. Eine im Anschluss an eine Transaktion durchgeführte Analyse, die das tatsächliche Resultat der Transaktion bewertet. Eine historische ex post-Analyse der Performance einer Investition und heißt auch Backtest.

Maximaler Drawdown. Der maximale Wertverlust eines Wertpapiers von seinem Höchstkurs bis zum folgenden Tiefstkurs in einem betrachteten Zeitraum.

Mittelwert-Varianz-Analyse. Eine Methode zur Auswahl optimaler Portfolios auf der Grundlage der Mittelwerte und der Kovarianzen ihrer Gesamtanlageerträge.

Turnover. Ein Maß für denjenigen Anteil von Wertpapieren, der in einem Portfolio innerhalb eines definierten Zeitraums ausgetauscht wird.

Veröffentlicht 2006 - 91427v00

Literatur

Haugen, Robert and Nardin Baker,
"Dedicated Stock Portfolios," Journal of Portfolio Management, Summer 1990, pp. 17-22.

———, "The Efficient Market Inefficiency of Capitalization-Weighted Stock Portfolios,"
Journal of Portfolio Management, Spring 1991, pp. 35-40.

Markowitz, Harry, Portfolio Selection:
Efficient Diversification of Investments, John Wiley & Sons, Inc., 1959.



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